第二部分：数据的表示与运算

2.1 数制与编码

计算机内部所有信息（指令、数字、文字、图像）都用二进制表示。你需要熟练掌握二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换。

基本概念

  • 二进制：基数为2，数字为0和1。计算机内部存储和处理的最小单位是位（bit）。
  • 八进制：基数为8，数字0-7。每3位二进制对应1位八进制。
  • 十六进制：基数为16，数字0-9和A-F（A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15）。每4位二进制对应1位十六进制。
  • 十进制：基数为10，数字0-9，人类最常用。

转换方法

  1. 二进制 -> 十进制：按权展开相加。 例：1011.01(B) = 1x2^3 + 0x2^2 + 1x2^1 + 1x2^0 + 0x2^{-1} + 1x2^{-2} = 8+0+2+1+0+0.25 = 11.25(D)

  2. 十进制 -> 二进制：整数部分除2取余倒序；小数部分乘2取整正序。 例：13(D) = 1101(B)；0.625(D) = 0.101(B) （0.625x2=1.25取1，0.25x2=0.5取0，0.5x2=1.0取1）

  3. 二进制 <-> 八/十六进制：以小数点为界，向左向右每3位（八进制）或4位（十六进制）分组，不足补0。 例：11 0110 1110.0110 1(B) 补全为 0011 0110 1110.0110 1000(B) = 36E.68(H)

进制转换综合示例： 将十进制数 45.6875 转换为二进制、八进制和十六进制。

整数部分45：45/2=22余1, 22/2=11余0, 11/2=5余1, 5/2=2余1, 2/2=1余0, 1/2=0余1 -> 倒序得 101101(B) 小数部分0.6875：0.6875x2=1.375取1, 0.375x2=0.75取0, 0.75x2=1.5取1, 0.5x2=1.0取1 -> 正序得 1011(B) 所以 45.6875(D) = 101101.1011(B)

转八进制：从小数点起，每3位一组，不足补0 101101.1011 -> 101 101 . 101 100 -> 55.54(O)

转十六进制：从小数点起，每4位一组，不足补0 101101.1011 -> 0010 1101 . 1011 -> 2D.B(H)

验证：2D.B(H) = 2x16^1 + 13x16^0 + 11x16^{-1} = 32 + 13 + 0.6875 = 45.6875(D) ✓

⚠️ 易错点：

  • 小数部分转换时，注意"乘2取整正序"（和整数部分的"除2取余倒序"方向相反）。很多同学小数部分用了倒序导致结果错误。
  • 二进制分组时，整数部分向左（高位）补0，小数部分向右（低位）补0，不要搞反。
  • 八进制和十六进制转换时，要注意小数点位置保持不变。

其他编码（了解即可）

  • BCD码（8421码）：用4位二进制表示一位十进制数，例如 19(D) = 0001 1001(BCD)。缺点：浪费位，运算需调整。
  • 余3码：BCD码+0011，如 0->0011，1->0100。常用于简化进位处理。
  • 格雷码：相邻两个数只有一位不同，用于模数转换和抗干扰。例如 0=0000, 1=0001, 2=0011, 3=0010。

💡 记忆技巧：

  • 十六进制字母对应：A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15 —— 可以记为 A Big Cat Does Eat Fish（A大猫吃鱼）。
  • 二进制转十六进制：每4位一组，记住 1010=A, 1011=B, 1100=C, 1101=D, 1110=E, 1111=F。
  • 余3码 = BCD + 3，记忆为"余3就是加3"。

2.2 定点数的表示

定点数是指小数点的位置固定不变。计算机中主要处理整数（定点整数）和纯小数（定点小数）。

无符号整数

  • 所有位都表示数值，没有符号位。n位无符号整数的范围：0 到 2^n - 1。
  • 例如 8位无符号整数：0~255。

有符号整数 有符号数需要表示正负。常用三种编码：原码、反码、补码，以及移码（主要用于浮点数的阶码）。

原码

  • 最高位为符号位（0正1负），其余位表示数值的绝对值。
  • 例如8位原码：+5 = 0000 0101，-5 = 1000 0101。
  • 缺点：0有两种表示（+0=0000 0000，-0=1000 0000）；加减法复杂（需要根据符号位单独处理）。

反码

  • 正数的反码与原码相同。负数的反码：符号位为1，其余位按位取反。
  • 例如8位反码：+5 = 0000 0101，-5 = 1111 1010。
  • 缺点：同样存在+0和-0（0000 0000 与 1111 1111）；加减法仍需要循环进位（端回进位）。

补码

  • 正数的补码与原码相同。负数的补码：反码+1。
  • 例如8位补码：+5 = 0000 0101，-5 = 1111 1011。
  • 优点：0只有一种表示（0000 0000）；加减法统一使用加法，溢出处理简单。现代计算机全部采用补码表示有符号整数。
  • n位补码范围：-2^(n-1) 到 2^(n-1)-1。8位补码：-128~127。
  • 转换技巧：从负数的补码求其绝对值：补码取反加1得到原码（忽略符号位）。例如 1111 1011 取反得 0000 0100，加1得 0000 0101 = 5，所以原数是-5。

补码关键性质（深入理解）：

  • 补码的符号位参与运算：在补码加法中，符号位和数值位一起参与加法运算，进位自然溢出即可。
  • 补码的"模"概念：n位补码的模为2^n。负数-x的补码 = 2^n - x（不考虑符号位）。
  • 例如：-5在8位补码 = 2^8 - 5 = 256 - 5 = 251 = 1111 1011(B)

补码加减法计算示例： 例1：计算 8位补码 3 + (-5) 3的补码 = 0000 0011 -5的补码 = 1111 1011 直接相加：0000 0011 + 1111 1011 = 1111 1110 1111 1110是补码，取反加1得 0000 0010 = 2，所以结果是-2。✓

例2：计算 8位补码 (-3) + (-5) -3的补码 = 1111 1101 -5的补码 = 1111 1011 相加：1111 1101 + 1111 1011 = 1 1111 1000（进位1自然丢失） 结果为 1111 1000，取反加1得 0000 1000 = 8，所以是-8。✓

例3：溢出情况——8位补码 120 + 50 120 = 0111 1000，50 = 0011 0010 相加：0111 1000 + 0011 0010 = 1010 1010 结果符号位为1（负数），但两个正数相加应为正数，所以溢出。 验证：120+50=170，而8位补码最大正数为127，确实超出范围。

移码

  • 在补码的基础上，将符号位取反（或者说加上一个偏置常数2^(n-1)）。
  • 例如8位移码：+5 = 1000 0101（原补码0000 0101符号位取反），-5 = 0111 1011。
  • 移码主要用于浮点数的阶码，便于比较大小（移码大的真值大）。

定点小数

  • 小数点在最高位之后，即符号位之后。n位定点小数表示范围：-1 ~ 1-2^(-(n-1))。
  • 原码、补码等规则与整数类似，只是权重为2的负幂次。例如补码定点小数：1.0000 表示 -1，0.1111 表示 0.9375。

各编码范围对比表（n位二进制，含符号位）：

编码方式 最小值 最大值 0的表示种数
无符号整数 0 2^n-1 1
原码 -(2^(n-1)-1) 2^(n-1)-1 2（+0和-0）
反码 -(2^(n-1)-1) 2^(n-1)-1 2（+0和-0）
补码 -2^(n-1) 2^(n-1)-1 1
移码 -2^(n-1) 2^(n-1)-1 1

⚠️ 易错点：

  • 补码范围不对称：8位补码最小是-128，最大是127，因为0只占一个编码，多出来的编码给了-128。注意-128的补码是1000 0000。
  • 从补码求真值：负数的补码看起来是一个很大的正数（如1111 1011=251），不要直接当成无符号数，要取反加1再取负。
  • 原码和反码的"0"有两种表示，补码只有一种，这是补码最大的优势之一。

💡 记忆技巧：

  • 补码转换口诀："正补不变，负补取反加一"
  • 从补码求真值："补码变原码，同样取反加一"
  • 8位补码范围：-128 ~ +127 可以记为 "-128到127，负多一个"
  • 原码、反码、补码关系：
    • 原码 -> 反码：符号位不变，数值位取反
    • 反码 -> 补码：加1
    • 原码 -> 补码：取反加一（符号位不变）

2.3 浮点数的表示

定点数范围有限，无法表示很大或很小的数，所以计算机使用浮点数（类似科学计数法）。考研主要考IEEE 754标准。

类比理解：浮点数就是计算机中的"科学计数法"。就像科学计数法把 1,230,000,000 写成 1.23x10^9，浮点数把二进制数写成 (-1)^S x 1.M x 2^(E-127)。指数让小数点可以"浮动"，从而表示极大的数和极小的数。

IEEE 754 单精度（32位） 格式：1位符号S + 8位阶码E + 23位尾数M（隐含1位整数部分1）

  • 真值 = (-1)^S x (1.M) x 2^(E-127)
  • 阶码E用移码表示，偏置常数127（双精度为1023）。
  • 尾数M是小数部分，实际有效数字为1.M（规格化数时）。

规格化数：当E不全为0且不全为1时，表示规格化浮点数。此时隐含的整数部分为1。 例如：十进制 -0.75 = -1.5 x 2^(-1)

  • 符号S=1
  • 1.5的二进制为1.1，所以M = 0.1（即23位中存储100...0）
  • 阶码实际值为-1，加上偏置127得126，二进制 0111 1110
  • 最终32位：1 01111110 10000000000000000000000

IEEE 754完整示例： 将十进制数 5.75 转换为IEEE 754单精度浮点数。

步骤1：确定符号。5.75为正，S=0。 步骤2：转换为二进制。5.75 = 101.11(B)（5=101, 0.75=0.11）。 步骤3：规格化。101.11 = 1.0111 x 2^2。所以E_actual = 2，M = 0111。 步骤4：计算阶码E。E = E_actual + 127 = 2 + 127 = 129 = 1000 0001(B)。 步骤5：组合。S=0, E=10000001, M=01110000000000000000000。 结果：0 10000001 01110000000000000000000 = 40E80000(H)

IEEE 754逆转换示例： 给定32位十六进制 C0A00000，求对应的十进制数。

步骤1：C0A00000(H) = 1100 0000 1010 0000 ... 0000(B) 步骤2：分解：S=1, E=10000001, M=0100000...0 步骤3：E=129, E_actual = 129-127 = 2 步骤4：M=0.01，所以1.M = 1.01(B) = 1.25(D) 步骤5：真值 = (-1)^1 x 1.25 x 2^2 = -1.25 x 4 = -5.0 ✓

非规格化数：当E=0，M!=0时，表示非常接近0的数。此时隐含整数部分为0，真值 = (-1)^S x (0.M) x 2^(-126)。 特殊值：

  • E=0, M=0 -> 0（正0和负0）
  • E=255, M=0 -> 无穷大（正无穷或负无穷）
  • E=255, M!=0 -> NaN（Not a Number，如0/0的结果）

非规格化数示例： 最小的正非规格化数：S=0, E=0, M=00...01（最低位为1） 真值 = 0.00...01 x 2^(-126) = 2^(-23) x 2^(-126) = 2^(-149) = 1.4x10^(-45)

双精度（64位）：1位S + 11位E + 52位M，偏置1023。

浮点数的舍入规则（了解即可）

  • 就近舍入（默认）：向最近的可表示值舍入，中间情况向偶数舍入。
  • 向上舍入、向下舍入、向零舍入。

浮点数的表示范围（单精度）

  • 最小正规格化数：2^(-126) = 1.18x10^(-38)
  • 最大正规格化数：约 3.4x10^(38)
  • 非规格化数可表示更接近0的数（最小正非规格化数：2^(-149) = 1.4x10^(-45)）

⚠️ 易错点：

  • IEEE 754中隐含的整数部分是"1"（规格化时），不是"0"。只有在非规格化数时才为"0"。
  • 阶码是用移码（偏置127）表示，不是补码。计算真值时一定要减去127。
  • 浮点数的精度由尾数位数决定，范围由阶码位数决定。
  • 不要把单精度的偏置127和双精度的偏置1023弄混。

💡 记忆技巧：

  • IE 754三段结构：S(1位) + E(8位) + M(23位)，口诀**"一符八阶廿三位"**
  • 阶码偏移量：单精度127，双精度1023。记忆为**"单127，双1023"**（1+2+7=10，但双精度是1023≈2^10）。
  • 规格化数特点：E既不全0也不全1，隐含整数为1。
  • NaN判定：E全1且M不全0，"全一阶码非零尾"。

2.4 算术逻辑单元（ALU）

ALU是运算器的核心，用于执行算术和逻辑运算。你需要理解基本加法器的原理，以及乘除法的基本实现思路（重点在算法思想，不需要背电路细节）。

加法器

  • 半加器：输入A、B，输出和S、进位C。真值表：0+0=0（C=0,S=0）；0+1=1（C=0,S=1）；1+0=1（C=0,S=1）；1+1=0（C=1,S=0）。 逻辑表达式：S = A XOR B，C = A AND B。

  • 全加器：输入A、B、进位Cin，输出和S、进位Cout。 逻辑表达式：S = A XOR B XOR Cin，Cout = A AND B OR (A XOR B) AND Cin。

  • 串行进位加法器：将n个全加器串联，低位进位连到高位进位输入。电路简单，但速度慢（进位逐级传递，延迟与位数成正比）。

  • 超前进位加法器：预先计算出每一位的进位，不等待低位结果，速度快但电路复杂。现代CPU采用超前进位或混合进位。

串行进位延迟计算示例： 一个16位串行进位加法器，每个全加器产生进位需要2个门延迟（设1个门延迟为T），求最坏情况下的加法延迟。 最坏情况：进位从最低位逐级传到最高位，需要经过16个全加器。 延迟 = 16 x 2T = 32T 而超前进位加法器的延迟约为 4T（不论位数），远快于串行进位。

减法 计算机用加法器实现减法：A - B = A + (-B)。-B用补码表示（取反加1）。所以减法器可以复用加法器，只需控制B的输入取反，并将Cin设为1。

减法示例：计算 5 - 3（8位） 5的补码 = 0000 0101 -3的补码 = 1111 1101 0000 0101 + 1111 1101 = 1 0000 0010（进位1自然丢失，低位为0000 0010 = 2）✓

定点数的乘法

考研中主要考察原码乘法（一位乘）和补码乘法（Booth算法）。你不需要掌握高速乘法器细节，但要理解步骤和溢出判断。

  • 原码一位乘：符号位单独处理（正正得正，正负得负），数值部分用绝对值相乘。 步骤：初始化部分积为0，从乘数最低位开始，若该位=1，则部分积加被乘数，然后右移一位；若该位=0，则部分积加0，右移一位。重复n次。

原码一位乘完整示例：计算 3 x 2（3位二进制，使用4位寄存器防止溢出） 被乘数X=011（3），乘数Y=010（2），均为正数，符号位为0。 部分积初始为0000，乘数放在低3位（010），用1位辅助位。

循环 乘数最低位 操作 部分积 乘数(含辅助位)
初始 - - 0000 010 0
第1步 0 加0，右移 0000 001 0
第2步 1 加011得0011，右移 0001 100 1
第3步 0 加0，右移 0000 110 0

结果为 0000 0110（高4位部分积+低3位移出+最后一步右移）= 6 ✓

  • 补码一位乘（Booth算法）：直接对补码进行乘法，可处理负数。核心规则：检查乘数相邻两位（y_i和y_{i-1}），初始y_{-1}=0。
    • 00或11：部分积右移一位
    • 01：部分积加被乘数，右移一位
    • 10：部分积减被乘数，右移一位 重复n次。最后不需要额外处理符号。

Booth算法示例：用Booth算法计算 (-3) x 2，4位补码。 -3的补码 = 1101（被乘数），2的补码 = 0010（乘数） 部分积初始为0000，乘数0010，y_{-1}=0。

步骤 y_i y_{i-1} 操作 部分积 乘数 y_{i-1}
初始 - - 0000 0010 0
1 00 右移 0000 0001 0
2 10 减被乘数(-3)=+3 0011 - -
右移 0001 1000 1
3 01 加被乘数(-3) 0001+1101=1110 - -
右移 1111 0100 0
4 00 右移 1111 1010 0

结果是 1111 1010（高4位部分积+低4位移出） 1111 1010是补码，取反加一得 0000 0110 = 6，所以结果是 -6 ✓

定点数的除法

  • 恢复余数法：类似笔算除法。每次试商（够减商1，不够减商0），若不够减则恢复余数（加回除数）。
  • 不恢复余数法（加减交替法）：优化恢复余数法，当余数为负时，下次改为加除数，减少一次加法。

溢出判断 有符号数加减法可能溢出（结果超出表示范围）。判断方法：

  • 对于补码加法，当正+正得负，或负+负得正时溢出。
  • 硬件常用判断：最高位进位与次高位进位不同则溢出。

溢出判断示例： 8位补码，计算 120 + 50： 120=0111 1000, 50=0011 0010 相加：最高位进位=0（第7位无进位），次高位进位=1（第6位向第7位进位） 最高位进位 XOR 次高位进位 = 0 XOR 1 = 1 -> 溢出 ✓

标志位的生成（CPU状态寄存器）

  • ZF（零标志）：结果全0时置1。
  • OF（溢出标志）：有符号数溢出时置1。
  • SF（符号标志）：结果最高位（符号位）的值。
  • CF（进位/借位标志）：无符号数加减法时的进位或借位。

标志位综合示例： 8位运算：计算 200 + 100 = 300（超出255时的情况） 200=1100 1000, 100=0110 0100 相加：1100 1000 + 0110 0100 = 1 0010 1100（产生进位）

  • ZF=0（结果不为0）
  • OF=1? 两个正数（最高位为0和0）？不，200的补码1100 1000最高位为1，实际上是负数（-56），100的补码为0110 0100最高位为0（正数）。正+负不会溢出，OF=0。
  • SF=0（结果最高位为0，视为正数）
  • CF=1（无符号运算产生了进位，说明结果超过255）

💡 记忆技巧：

  • 溢出判断口诀："正正得负、负负得正，必定溢出"
  • 硬件溢出判断（8位为例）："最高进位异或次高进位，异或为1即溢出"
  • 标志位记忆："Z是零(Zero)，O是溢出(Overflow)，S是符号(Sign)，C是进位(Carry)"

浮点数运算步骤（了解流程，考试中可能结合IEEE754考查）

  1. 对阶：小阶向大阶对齐，尾数右移（移位量=阶差）。
  2. 尾数加减：定点小数运算。
  3. 规格化：若结果尾数不是1.x形式，则左移或右移，同时调整阶码。
  4. 舍入：按舍入规则处理多余位。
  5. 溢出判断：阶码超出范围时溢出。

浮点数加法完整示例： 计算 5.75 + (-0.75) = 5.0

5.75 = 0 10000001 01110000000000000000000（之前已求） -0.75 = 1 01111110 10000000000000000000000（之前已求）

对阶：5.75的阶码E=129，-0.75的阶码E=126，阶差=3。 -0.75的尾数右移3位：1.100 -> 0.0011（注意隐含的1也右移了，变成非规格化） 但实际更规范的做法是写成一致阶码后运算。 运算过程略（408对此要求了解流程即可，不要求完整手算）。

2.5 移位运算与位扩展

移位运算

  • 逻辑左移：低位补0，高位丢弃。无符号整数左移相当于乘以2（可能溢出）。
  • 逻辑右移：高位补0，低位丢弃。无符号整数右移相当于除以2。
  • 算术左移：与逻辑左移相同（符号位可能改变，需注意溢出）。
  • 算术右移：高位补符号位（正数补0，负数补1），保持符号不变。用于有符号整数除以2（向负无穷舍入）。
  • 循环移位：移出的位补到另一端（如循环左移：高位移出后放到低位）。

移位运算示例： 8位有符号补码数 -8（1111 1000）：

  • 算术右移1位：1111 1100 = -4（除以2的整数部分）✓
  • 算术右移2位：1111 1110 = -2 ✓
  • 算术右移3位：1111 1111 = -1（注意：-1/2=-0.5，向负无穷舍入为-1）✓
  • 逻辑右移1位：0111 1100 = 124（符号位被0填充，负数变成了正数！）

⚠️ 易错点：

  • 有符号负数算术右移时，高位补的是1（保持负数），但结果向负无穷舍入，如-1右移仍然是-1。
  • 逻辑右移和算术右移的区别：逻辑右移高位补0，算术右移高位补符号位。

位扩展（将短整数转换为长整数）

  • 零扩展：高位补0，用于无符号整数。例如 8位无符号255（11111111）扩展到16位为 0000000011111111。
  • 符号扩展：高位补符号位，用于有符号整数。例如 8位补码-1（11111111）扩展到16位为 1111111111111111，仍表示-1。

位扩展示例： 8位有符号数 -> 16位有符号数：

  • +5（0000 0101）-> 0000 0000 0000 0101（正数补0，值不变）
  • -5（1111 1011）-> 1111 1111 1111 1011（负数补1，值不变） 如果对-5用了零扩展：0000 0000 1111 1011 = 251，值完全变了。

📌 408考点提示

考查形式：

  • 选择题高频：进制转换、原码/反码/补码表示、IEEE 754浮点数格式、标志位判断、溢出判断。
  • 计算题/综合题：IEEE 754与十进制互转（如2015年408真题）、补码加减法运算、原码一位乘步骤。
  • 大题可能考查：浮点数加减运算的步骤、Booth算法的步骤描述。

常见命题模式：

  1. 给定32位十六进制，判断是IEEE 754的什么数（规格化/非规格化/特殊值），并求真值。
  2. 给定x和y的补码表示，求x+y的补码并判断是否溢出。
  3. 给定各类指令CPI和占比，结合数据表示的综合计算。
  4. 原码一位乘的手算过程（选择题中考查步骤或结果）。

学生常犯错误：

  • 补码范围记错：8位补码最小值是-128（10000000），不是-127。
  • IEEE 754阶码偏置单精度127记成128。
  • 浮点数运算中对阶的方向弄反（应该是小阶向大阶对齐）。
  • 误认为MIPS可以跨架构比较性能。
  • 溢出判断中混淆OF（有符号溢出）和CF（无符号进位）。

备考建议：

  • 熟练掌握补码加减法运算（含溢出判断），这是408必考基础能力。
  • IEEE 754的单精度格式必须做到"看到十六进制就能写出十进制"的熟练度。
  • 对Booth算法和原码一位乘，理解步骤即可，不需要死记硬背电路细节。
  • 标志位OF、CF、SF、ZF的判断要结合具体例子多练习。

第二部分小结

主题 核心要点
数制转换 二、八、十、十六进制的互相转换
有符号整数 原码、反码、补码、移码；补码是标准
浮点数 IEEE 754单精度格式：S(1)+E(8)+M(23)，隐含整数1
加法器 半加器、全加器、串行进位、超前进位
乘除法 原码一位乘、Booth补码乘、恢复余数法、不恢复余数法
溢出与标志 OF、CF、SF、ZF的判断
移位与扩展 逻辑/算术移位、零扩展/符号扩展